도도의 초록누리

[수학(Math)] 14. 역행렬(Inverse)

이 절에서는 정사각행렬 에 어떤 행렬을 곱하여 항등행렬이 되는 행렬에 대한 기본적인 성질에 대하여 살펴보기로 한다.

(예제) 행렬 에 대하여

이므로 이다.

정칙행렬의 역행렬은 유일하게 존재한다는 사실을 다음 정리에서 보일 수 있다.

정리:

= 유일하다.

의 역행렬이라 하자.

정사각행렬 가 정칙행렬이면 의 역행렬은 유일하게 존재한다.

(증명) 만일 가 의 역행렬이라고 가정하면

이다.

따라서 가 되어 의 역행렬은 유일하게 존재한다.

임의의 정사각행렬 에 대하여 역행렬이 반드시 존재하는 것은 아니다. 다음의 예제를 살펴보자.

(예제) 행렬 의 역행렬이 존재한다고 가정하고 그 역행렬을 라고 하면 다음이 성립한다.

따라서

이다. 그런데 이 식을 만족시키는 실수 는 존재하지 않는다. 따라서 행렬 가 행렬 의 역행렬이 된다는 사실에 모순이 된다.

즉, 행렬 는 정칙행렬이 아니다.

행렬 가 정칙행렬일 때 가 정칙행렬이라고 할 수 없다는 사실을 다음 예를 통하여 알 수 있다.

(예제) 두 행렬 와 는 정칙행렬이지만 이므로 는 정칙행렬이 아니다. 따라서 임의의 두 정칙행렬의 합은 정칙행렬이라고 할 수 없다.

(증명)

(1) 이므로 는 의 역행렬이다. 즉, 이다.

(2)

    이므로

   이다.

(3) 이므로 등식이 성립한다.

(예제) 두 행렬 와 는 정칙행렬이다. 또한

이므로

이다. 따라서 이고 이 성립한다.

(증명)

가 정칙행렬이므로 이다. 따라서,

이 되어 는 정칙행렬이고 이다.

(예제) 행렬 는 정칙행렬이고 역행렬은 이다. 또한

는 정칙행렬이고 역행렬은 이다. 따라서

(증명)

가 대칭행렬이므로 다음 관계가 성립한다.

따라서, 는 대칭행렬이 된다.

(예제)

행렬 에 대하여

이므로 는 대칭행렬이고 정칙행렬이다. 또한

이므로 의 역행렬 도 대칭행렬이다.

(증명) 가 교대행렬이므로 다음 관계가 성립한다.

따라서, 는 교대행렬이 된다.

(예제) 행렬 에 대하여

이므로 는 교대행렬이고 정칙행렬이다. 또한

이므로 의 역행렬 도 교대행렬이다.

참고) 정의에 의하여 의 전치행렬은 의 행을 열로 이동시켜 얻을 수 있다. 따라서 의 크기가 이면 의 크기는 이 된다.

(예제) 행렬 의 전치행렬을 구하면 다음과 같다.

(증명) 각 행렬의 성분을 으로 놓고 좌변과 우변에 놓인 행렬의 -성분이 서로 같음을 보임으로써 상등관계를 증명할 수 있다.

(1) 의 -성분은 의 -성분이고 이는 의 -성분이므로 이다.

(2) 의 -성분은 의 -성분이므로 이다. 이는 의 -성분과 의 -성분의 합이 되므로 의 -성분과 같다.

(3) 의 -성분은 의 -성분이므로 이다. 이는 의 -성분과 같으므로 이다.

(예제)

두 행렬

와 실수 에 대하여

이다. 따라서 다음이 성립한다.

(정리)
두 행렬 에 대하여 다음이 성립한다.

(증명) 각 행렬의 성분을 로 놓으면 의 -성분은 의 -성분이므로 이다.

그런데 는 의 -성분이 되므로 정리가 성립한다.

(예제)

두 행렬 와 에 대하여

이므로

이다.

(참고) 대칭행렬 는 주대각 성분들을 연결하는 선분을 기준으로 하여 서로 대칭인 성분들로 이루어져 있다.

(예제1) 행렬 의 전치행렬은 이므로 는 대칭행렬이다.

(예제2) 행렬 의 전치행렬은 이므로 는 대칭행렬이다.

(예제3) 행렬  가 대각행렬이면 이므로 는 대칭행렬이다.

(참고) 정사각행렬 가 교대행렬이라면 교대행렬의 정의로부터 이 된다.

따라서 임을 알 수 있다. 즉, 주 대각성분은 모두 0이다.

(예제1) 행렬 의 전치행렬 이므로 는 교대행렬이다.

(예제2) 행렬 의 전치행렬은 이므로 는 교대행렬이다.

(예제3) 정사각행렬 가 주어지면 다음 과정을 통하여 대칭행렬과 교대행렬을 항상 만들 수 있다. 실제로 행렬 를 다음과 같이 정의 하자.

그러면 다음 관계식이 성립한다.

따라서 가 되어 행렬 는 대칭행렬이 되고 행렬 는 교대행렬이 된다.

이때, 실수 에 대하여 행렬 와 행렬  또한 각각 대칭행렬이 됨을 알 수 있다.

(증명)

행렬 는 대칭행렬이고 행렬 는 교대행렬이다. 또한 행렬 는

으로 나타내어지므로 정사각행렬 는 대칭행렬과 교대행렬의 합으로 항상 나타낼 수 있다.

(예제)

행렬 에 대하여 이므로

이다. 따라서 행렬 는 다음과 같이 대칭행렬과 교대행렬의 합으로 나타낼 수 있다.

(참고) 행렬 의 대각합은 정사각행렬들의 집합 에서 다음과 같이 정의된 함수임을 알 수 있다.

(예제1) 행렬 의 대각합은 다음과 같다.

(예제2) 행렬 의 대각합은 다음과 같다.

(예제3) 정사각행렬 가 교대행렬이라면 이므로 주대각성분이 모두 0이다. 따라서 의 대각합은 다음과 같다.

정사각행렬의 대각합은 다음 정리에서 알 수 있듯이 덧셈과 스칼라 곱셈을 유지시킨다.

(증명) 각 행렬의 성분을 로 놓으면 다음과 같이 증명할 수 있다.

(1)

(2)

(참고) 대각합은 행렬 의 덧셈연산은 유지시키지만 곱셈연산은 유지 시키지는 않는다. 즉,

(예제) 두 행렬 에 대하여 는 다음과 같다.

따라서

(증명) 각 행렬의 성분을 로 놓으면 다음 등식이 성립한다.

따라서 이 증명된다.

(예제) 두 행렬 에 대하여 와 는 다음과 같다.

따라서

(증명) 행렬의 성분을 로 놓으면 의 주 대각성분은 의 주 대각성분과 같으므로 다음 등식이 성립한다.

(예제) 행렬 에 대하여 이므로

(연습문제)

1. 두 행렬 와 에 대하여 다음을 구하여라.

(1)                                                   (2)

(3)

2. 두 행렬 와 에 대하여 다음을 구하여라.

(1)

[수학(Math)] 12. 행렬의 연산에 대한 성질

행렬들의 연산에 대한 기본적인 성질들에 대하여 살펴본다.

행렬들의 덧셈과 스칼라 곱셈, 그리고 상등관계의 정의에 의하여 집합 내에서 다음과 같은 성질이 성립함을 알 수 있다.

(정리1)
세 행렬  와 실수 에 대하여 다음이 성립한다.

 

 

[증명]

행렬의 곱이 정의된다고 가정했을 때 실수에서 결합법칙과 배분법칙이 성립하는 것과 마찬가지로 곱에 대한 결합법칙과 배분법칙이 성립한다는 것을 다음 정리에 의하여 알 수 있다.

(정리2)
행렬 와 에 대하여 다음이 성립한다.

[증명]

행렬의 성분을 각각 로 놓으면 의 -성분은 이므로

의 -성분은 이다.

또한, 행렬 의 -성분은 이고 의 -성분은 이므로 의 -성분은 이다. 따라서 행렬 와 의 -성분이 모두 같기 때문에 등식이 성립한다.

[증명]

행렬의 성분을 각각 로 놓으면 의 -성분은 이므로 의 -성분은 이다.

또한, 행렬 의 -성분은 이고 의 -성분은 이므로 의 -성분은

이다. 따라서 행렬 와 의 -성분이 모두 같기 때문에 등식이 성립한다.

[증명]

각 행렬의 성분을 , , 으로 놓으면 행렬 의 -성분은 이므로

의 -성분은 이다.

또한, 행렬 의 -성분은 이므로 의 -성분은

이다.

그런데

이므로 행렬 와 의 모든 -성분이 같다. 따라서 정리가 증명된다.

실수에서는 곱에 대하여 교환법칙이 성립하지만 행렬은 곱에 대하여 교환법칙이 성립하지 않는다는 사실을 다음 예제를 통하여 알 수 있다.

(예제)

다음 두 행렬의 곱 를 구하여라

[풀이]

행렬 을 각각 다음과 같이 놓자.

그러면

이다. 따라서 는 다음과 같다.

행렬에 대해서 가볍게 소개한다.

예) 행렬 는 다음과 같은 두 개의 행과 두 개의 열로 이루어진 크기가 인 행렬이다.

,

, 

다음은 행렬의 덧셈에 대한 항등원의 역할을 하는 영행렬의 정의에 대해 살펴보자.

[참고] 실수 를

로 정의하면 차의 항등행렬은 으로 나타낼 수 있다.

[참고] 정의에 의하여 정사각행렬 가 상삼각행렬이면 주 대각성분 아래에 놓여있는 성분들은 모두 0이다.

예) 행렬 

는 상삼각행렬이다.

[참고] 정의에 의하여 정사각행렬 가 하삼각행렬이면 주 대각성분 위에 놓여있는 성분들은 모두 0이다.

예) 행렬

는 하삼각행렬이다.

[참고] 정의에 의하여 정사각행렬 가 대각행렬이면 주 대각성분 이외의 성분들이 0이다. 또한 대각행렬은 상삼각행렬이고 동시에 하삼각행렬이다.

예) 행렬

는 대각행렬이다.

두 행렬의 상등관계에 대해서 소개한다.

(정의9)
두 행렬 의 대응되는 모든 성분이 같으면, 즉,

이면 행렬 와 는 같은 행렬이라고 하고 로 나타낸다.

예) 두 행렬

에 대하여 상등관계 가 성립하기 위한 실수 와 의 값은 다음과 같이 구할 수 있다.

집합 에 속하는 행렬들 사이에서 정의되는 연산에 대하여 살펴보자.

(예제)

두 행렬

에 대하여 는 각각 다음과 같다.

[참고]

정의에 의하여 두 개의 행렬 의 곱 는 의 열의 갯수와 의 행의 갯수가 같을 때에만 정의됨을 알 수 있다.

(예제) 두 행렬

에 대하여 는 다음과 같다.

(예제)

두 행렬

에 대하여 의 열의 갯수는 2이고 의 행의 갯수는 1이므로 곱 를 정의할 수 없다.

(예제)

두 행렬 와 에 대하여 다음이 성립함을 보여라.

=> (풀이)

두 행렬

와 에 대하여 이지만 이고 이다.

(연습 문제)

1. 두 행렬 와 에 대하여 다음을 구하여라.

2. 두 행렬 와 에 대하여 다음을 구하여라.

3. 두 행렬

와 에 대하여 다음을 구하여라.

4. 다음 식을 만족하는 실수 를 구하여라.

[수학(Math)] 10. 삼각함수표

수학에 관한 것이다.

삼각함수표에 대해서 가볍게 소개하려고 한다.

1. 삼각함수표의 구성

공학용 계산기에서의 sin(30)을 눌러보면 0.5의 값을 살펴볼 수 있다.

어떠한 체계로 구성이 되는지를 이해하려면, 호도법 또는 라디안(Radian)에 대해서 알 필요가 있다.

호도법과 삼각함수의 기초에 대해서 가벼운 수준에서 소개하였다고 본다.

스프레드시트를 열어서 sin(30)을 입력하면, -0.98xxxxxx의 수치를 확인할 수 있다.

그림 1-1. 삼각함수표의 예 - 도도(Dodo)

그림 1-1은 삼각함수표를 자연스럽게 표현한 것이다.

sin(Radian( ) )을 적용하게 된다면, 아래의 그림과 같이 삼각함수의 결과를 도출할 수 있다.

그림 1-2. 삼각함수 호도법 적용의 예 - 도도(Dodo)

그림 1-2는 삼각함수 호도법을 적용한 경우라고 보면 될 것 같다.

수학을 심도적으로 좋아하는 분이라면, 직접 만들어보는 것도 하나의 방법이 될 수 있다.

그림 1-3. 수동으로 식을 만들어서 해결한 경우 - 도도(Dodo)

Sin 함수를 만드는 건 조금 복잡할 것 같다.

radian 정도는 가볍게 만들 수 있을 것으로 보인다.

2. 삼각함수표 제작하기

삼각함수표를 제작하면 특이한 점을 관찰할 수 있다.

그림 2-1. 삼각함수표의 수치 비교 - 도도(Dodo)

radian()의 값이 달라질 수 있음을 알 수 있다.

그림 2-2. 삼각함수 시스템 (완성된 식과 수동으로 만든 식의 차이) - 도도(Dodo)

과학적 표기법에서는 유효숫자로 하여 수치를 처리하여 표현한다.

문제점은 정밀하고 엄밀한 수치를 추정할 수 있냐는 것이다.

[첨부(Attachment)]

TriangleTable.7z (ODS 파일)

3. 맺음글(Conclusion)

가볍게 삼각함수표가 왜 나오는지 이해하는 데 많은 도움이 되었으면 한다.

[수학(Math)] 9. 도함수와 적분(부정적분, 이중적분, 삼중적분)

Hi. My Name is Dodo.

안녕. 나의 이름은 도도야.

This article has written to begin for mathematics.

이 글은 수학을 입문을 위해 쓰여졌다.

1. 미분적분

미분적분은 Calculus(칼큘러스, 미분적분학으로 번역됨)에서 시작한다.

미분적분이 가지는 본연적 목적은 계산력 증진에 있다.

원리를 파악하려고 배우는 게 아니다. 미분적분을 응용하려고 해도 의미가 크게 없다.

수학에는 미분적분만 있는 게 아니다. 이산수학, 선형대수학, 대수학, 해석학, 기하학 등의 많은 공부 주제가 있다.

굉장히 많다는 이야기이다.

일반적으로 사용을 목적으로 하는 수학에서는 크게 고급적인 원리 증명을 요구하지 않은 것으로 알고 있다.

미분적분은 즉 계산력 증진을 위해서 사용한다.

라이프리츠와 뉴턴의 미분적분학이 고대에는 두 종류가 있었다. 발견을 비슷한 시기에 했었던 걸로 알고 있다.

결국은 라이프리츠의 방식을 채택하고 있지만, 일부 기호식에서는 뉴턴이 고안한 미분적분의 식이 현재에도 사용되고 있다.

예를 들면,

이러한 표기의 차이에서도 당시의 시대적인 상황을 느껴볼 수 있다.

2. 도함수

함수의 극한을 반드시 알아야 이해가 되는 것인가?

= ?

수열의 극한을 반드시 알아야 이해가 되는 것인가?

= ?

이 식으로 동작한다. 이 식을 정확히는 도함수라고 부른다.

흔히 이 식을 미분에 관한 식이라고도 부른다.

3. 부정적분

부정적분은 도함수를 역으로 하는 것이라고 표현한다.

다만, 학습을 하는데 있어서 편의상 그렇게도 부르는 경향이 있다.

크게 많은 식을 요구하지 않으며 이 식 하나면 정적분도 구할 수 있다.

4. 정적분

앞서 부정적분에 대해서 가벼운 식을 소개하였다. 정적분에 관한 식은 상한과 하한이 존재한다는 것이다.

아무래도 이런 점 때문에 함수의 극한 또는 수열의 극한을 권장하는 것으로 보인다.

그러나 계산에 의해서 해만 찾고 싶다면 이 식을 그냥 사용하는 것도 나쁘진 않다.

위에 있는 부정적분의 식을 그대로 사용한다.

간결하게 이런 느낌으로 사용하면 된다.

5. 이중, 삼중적분(Multi Integral)

이중적분, 삼중적분은 크게 어렵진 않다.

5-1) 이중적분

예1) 이중적분

이런 느낌으로 사용한다.

5-2) 삼중적분

말 그대로 적분을 3번 하는 것이다.

예1) 삼중적분

6. 맺음글

도도는 과연 이러한 식을 다 외우고 있는가?

= 자주 사용하지 않으면 모른다. 잊어버릴 때가 많다.

편안하게 접해보라고 작성한 것이다.

[수학(Math)] 8. 삼각함수의 덧셈정리, 배각공식, 항등식

이번에 소개할 것은 삼각함수의 덧셈정리와 배각공식, 항등식에 대해서 소개한다.

크게 어렵게 소개할 것은 아니다.

1. 삼각함수의 덧셈정리

나는 개인적으로 덧셈정리라고 표현하기보다는 덧셈연산 이 정도로 표현하고 싶다.

증명은 생략하겠다. 조금 증명방법이 굉장히 더럽다.

궁금하면 아래의 사이트에 접속해보기 바란다.

식이 굉장히 더럽다.

https://ko.wikipedia.org/wiki/삼각함수의 덧셈정리

논리적으로 성립하면, 식이 되는 것이다.

2. 삼각함수의 배각공식

(1)

(2)

(3)

2-1. 삼각함수의 배각공식(반각공식)

배각공식에 를 대입하면, 얻어낼 수 있다.

3. 삼각함수의 항등식

삼각함수에는 피타고라스 정리처럼 항등식이 존재한다.

(1)

(2)

(3)

3가지가 있다. 다 외우라고는 못 한다.
모를 때는 이것도 마찬가지로 책을 찾아보는 것처럼, 참고하면 도움이 될 것이다.

4. 참고자료(Reference)

1. 삼각함수, https://ko.wikipedia.org/wiki/삼각함수, Accessed by 2018-07-31

2. 삼각함수의 덧셈정리, https://ko.wikipedia.org/wiki/삼각함수의 덧셈정리, Accessed by 2018-07-31

[수학(Math)] 7. 삼각함수의 사인규칙, 라미의 정리

나는 삼각함수에 관해서 몇 가지를 소개하려고 합니다.

꼭 알아야 하는 것만 추려봤습니다.

라미의 정리를 삼각함수에서 다루는 것은 부적절할 수도 있겠으나, 근본적인 시스템이 흡사해서 소개합니다.

이건 분명히 시간이 지나면 기억하실 분도 있고, 잊어버릴 수도 있습니다.

1) 삼각비에 대해서 소개하다.

정역학에서 "라미의 정리"라는 것을 접할 수 있습니다.

물론 저는 정역학은 아직 배우지 않았지만, 크게 일반물리학이나 대학수학 범주에서 벗어나지 않을 것으로 보입니다.

나는 개인적으로 "일반물리(General Physics"는 식이 더럽게 많아서 다 외우지는 못 합니다.

예1) 구조물의 강선 구하기 문제

Fig1-1) 구조물의 예

강선에 대해서 몇 가지를 다뤄보겠습니다.

Fig1-1은 구조물입니다.

Fig1-2) 구조물에 점을 표기함.

Fig1-2에 점을 표기하였는데, Point A, B, C로 3개로 표현했습니다.

나는 이 문제에서 몇 가지 흥미로운 점을 발견했습니다.

Fig1-3) 대칭의 예

Fig1-2의 그림이 대칭이 될 수도 있다는 것입니다. 물론 실제 원래의 구조물은 변형이 되면 안 될 것입니다.

이런 문제에도 삼각함수의 사인규칙이 적용될 수 있습니다.

물론 정역학을 접하신 분들은 "라미의 정리"라고 표현하실 수도 있겠습니다.

근본적으로는 수학이 먼저라고 봅니다.

(i) 사인법칙의 표기

(ii) 라미의 정리

큰 프레임은 같습니다.

A가 가질 수 있는 각도는 150도입니다.

Fig 1-4) A의 각도

B가 가질 수 있는 각도는 120도입니다.

Fig 1-5) B의 각도

C가 가질 수 있는 각도는 90도입니다.

Fig 1-6) C의 각도

정리하면,

A = 150도

B = 120도

C = 90도

입니다.

따라서 앞서 주어진 그림을 살펴보면, C의 방향으로 작용하는 힘의 크기가

 라고 정의했습니다.

예를 들면 강선에 대한 발생되는 힘을 다양한 케이스로 구해볼 수 있습니다.

2. 참고자료

1. 삼각함수, 위키피디아, https://ko.wikipedia.org/wiki/삼각함수, Accessed by 2018-07-16

2. 라미의 정리, 위키피디아, https://ko.wikipedia.org/wiki/라미의 정리, Accessed by 2018-07-16