[수학(Math)] 14. 역행렬(Inverse)

[수학(Math)] 14. 역행렬(Inverse)

 

이 절에서는 정사각행렬 에 어떤 행렬을 곱하여 항등행렬이 되는 행렬에 대한 기본적인 성질에 대하여 살펴보기로 한다.

 

(정의)

정사각행렬 에 대하여 다음 조건을 만족하는 행렬 가 존재하면 행렬 를 정칙행렬(가역행렬, invertible matrix)이라고 한다.

 

이 때 행렬 를 행렬 의 역행렬(inverse)이라고 하고 로 나타낸다.

 

(예제) 행렬 에 대하여

이므로 이다.

 

정칙행렬의 역행렬은 유일하게 존재한다는 사실을 다음 정리에서 보일 수 있다.

 

정리:

= 유일하다.

의 역행렬이라 하자.

 

정사각행렬 가 정칙행렬이면 의 역행렬은 유일하게 존재한다.

 

(증명) 만일 가 의 역행렬이라고 가정하면

이다.

따라서 가 되어 의 역행렬은 유일하게 존재한다.

 

임의의 정사각행렬 에 대하여 역행렬이 반드시 존재하는 것은 아니다. 다음의 예제를 살펴보자.

 

(예제) 행렬 의 역행렬이 존재한다고 가정하고 그 역행렬을 라고 하면 다음이 성립한다.

 

 

따라서

 

이다. 그런데 이 식을 만족시키는 실수 는 존재하지 않는다. 따라서 행렬 가 행렬 의 역행렬이 된다는 사실에 모순이 된다.

즉, 행렬 는 정칙행렬이 아니다.

 

행렬 가 정칙행렬일 때 가 정칙행렬이라고 할 수 없다는 사실을 다음 예를 통하여 알 수 있다.

 

(예제) 두 행렬 와 는 정칙행렬이지만 이므로 는 정칙행렬이 아니다. 따라서 임의의 두 정칙행렬의 합은 정칙행렬이라고 할 수 없다.

 

(정리)

정사각행렬 와 실수 에 대하여 다음이 성립한다.

(1)

(2)

(3)

 

 

(증명)

 

(1) 이므로 는 의 역행렬이다. 즉, 이다.

 

(2)

    

   

     

  

    이므로

   이다.

 

(3) 이므로 등식이 성립한다.

 

(예제) 두 행렬 와 는 정칙행렬이다. 또한

이므로

 

이다. 따라서 이고 이 성립한다.

 

(정리)

정사각행렬 가 정칙행렬이면 는 정칙행렬이다. 또한 다음이 성립한다.

 

 

(증명)

가 정칙행렬이므로 이다. 따라서,

이 되어 는 정칙행렬이고 이다.

 

(예제) 행렬 는 정칙행렬이고 역행렬은 이다. 또한

는 정칙행렬이고 역행렬은 이다. 따라서

 

 

(정리)

대칭행렬 가 정칙행렬이면 역행렬 도 대칭행렬이다.

 

(증명)

가 대칭행렬이므로 다음 관계가 성립한다.

 

 

따라서, 는 대칭행렬이 된다.

 

(예제)

 

행렬 에 대하여

 

 

이므로 는 대칭행렬이고 정칙행렬이다. 또한

 

이므로 의 역행렬 도 대칭행렬이다.

 

(정리)

교대행렬 가 정칙행렬이면 역행렬 도 교대행렬이다.

 

(증명) 가 교대행렬이므로 다음 관계가 성립한다.

 

따라서, 는 교대행렬이 된다.

 

(예제) 행렬 에 대하여

                

이므로 는 교대행렬이고 정칙행렬이다. 또한

 

이므로 의 역행렬 도 교대행렬이다.