[수학(Math)] 13. 행렬의 전치행렬과 대각 합

[수학(Math)] 13. 행렬의 전치행렬과 대각 합

 

행렬 의 전치행렬의 정의 및 기본적인 성질, 대칭행렬과 교대행렬의 성질을 살펴본다.

또한 정사각행렬에서만 정의되는 개념인 대각합의 정의와 기본적인 성질들에 대하여 살펴본다.

 

정의)

행렬 의 행과 열을 바꾸어 얻은 행렬 을 의 전치행렬(transpose matrix)이라고 하고 로 표시한다. (이때, 이다.)

 

 

참고) 정의에 의하여 의 전치행렬은 의 행을 열로 이동시켜 얻을 수 있다. 따라서 의 크기가 이면 의 크기는 이 된다.

 

(예제) 행렬 의 전치행렬을 구하면 다음과 같다.

 

 

 

(정리)

두 행렬 와 실수 에 대하여 다음이 성립한다.

 

(1)

(2)

(3)

 

(증명) 각 행렬의 성분을 으로 놓고 좌변과 우변에 놓인 행렬의 -성분이 서로 같음을 보임으로써 상등관계를 증명할 수 있다.

 

(1) 의 -성분은 의 -성분이고 이는 의 -성분이므로 이다.

(2) 의 -성분은 의 -성분이므로 이다. 이는 의 -성분과 의 -성분의 합이 되므로 의 -성분과 같다.

(3) 의 -성분은 의 -성분이므로 이다. 이는 의 -성분과 같으므로 이다.

 

(예제)

두 행렬

와 실수 에 대하여

이다. 따라서 다음이 성립한다.

 

 

 

 

(정리)
두 행렬 에 대하여 다음이 성립한다.

(증명) 각 행렬의 성분을 로 놓으면 의 -성분은 의 -성분이므로 이다.

그런데 는 의 -성분이 되므로 정리가 성립한다.

 

(예제)

두 행렬 와 에 대하여

이므로

이다.

 

(정의)

정사각행렬 가 다음 조건을 만족하면 를 대칭행렬(symmetric matrix)이라고 한다.

 

(참고) 대칭행렬 는 주대각 성분들을 연결하는 선분을 기준으로 하여 서로 대칭인 성분들로 이루어져 있다.

 

 

(예제1) 행렬 의 전치행렬은 이므로 는 대칭행렬이다.

 

(예제2) 행렬 의 전치행렬은 이므로 는 대칭행렬이다.

 

(예제3) 행렬  가 대각행렬이면 이므로 는 대칭행렬이다.

 

 

(정의)

정사각행렬 가 다음 조건을 만족하면 를 교대행렬(Alternating matrix)이라고 한다.

 

(참고) 정사각행렬 가 교대행렬이라면 교대행렬의 정의로부터 이 된다.

따라서 임을 알 수 있다. 즉, 주 대각성분은 모두 0이다.

 

(예제1) 행렬 의 전치행렬 이므로 는 교대행렬이다.

 

(예제2) 행렬 의 전치행렬은 이므로 는 교대행렬이다.

 

(예제3) 정사각행렬 가 주어지면 다음 과정을 통하여 대칭행렬과 교대행렬을 항상 만들 수 있다. 실제로 행렬 를 다음과 같이 정의 하자.

 

 

그러면 다음 관계식이 성립한다.

 

 

따라서 가 되어 행렬 는 대칭행렬이 되고 행렬 는 교대행렬이 된다.

이때, 실수 에 대하여 행렬 와 행렬  또한 각각 대칭행렬이 됨을 알 수 있다.

 

(정리)

정사각행렬 는 대칭행렬과 교대행렬의 합으로 항상 나타낼 수 있다.

 

(증명)

행렬 는 대칭행렬이고 행렬 는 교대행렬이다. 또한 행렬 는

으로 나타내어지므로 정사각행렬 는 대칭행렬과 교대행렬의 합으로 항상 나타낼 수 있다.

 

(예제)

행렬 에 대하여 이므로

이다. 따라서 행렬 는 다음과 같이 대칭행렬과 교대행렬의 합으로 나타낼 수 있다.

 

 

(정의)

정사각행렬 에 대하여 다음과 같이 정의된 실수 를 의 대각합(trace)이라고 한다.

 

 

(참고) 행렬 의 대각합은 정사각행렬들의 집합 에서 다음과 같이 정의된 함수임을 알 수 있다.

 

 

(예제1) 행렬 의 대각합은 다음과 같다.

 

 

(예제2) 행렬 의 대각합은 다음과 같다.

 

 

(예제3) 정사각행렬 가 교대행렬이라면 이므로 주대각성분이 모두 0이다. 따라서 의 대각합은 다음과 같다.

 

 

정사각행렬의 대각합은 다음 정리에서 알 수 있듯이 덧셈과 스칼라 곱셈을 유지시킨다.

 

(정리)

정사각행렬 와 실수 에 대하여 다음이 성립한다.

(1)

(2)

 

(증명) 각 행렬의 성분을 로 놓으면 다음과 같이 증명할 수 있다.

 

(1)

 

(2)

 

(참고) 대각합은 행렬 의 덧셈연산은 유지시키지만 곱셈연산은 유지 시키지는 않는다. 즉,

 

(예제) 두 행렬 에 대하여 는 다음과 같다.

 

따라서

 

 

(정리)

정사각행렬 에 대하여 다음이 성립한다.

 

(증명) 각 행렬의 성분을 로 놓으면 다음 등식이 성립한다.

 

따라서 이 증명된다.

 

(예제) 두 행렬 에 대하여 와 는 다음과 같다.

 

 

따라서

 

 

(정리)

정사각행렬 에 대하여 다음이 성립한다.

 

(증명) 행렬의 성분을 로 놓으면 의 주 대각성분은 의 주 대각성분과 같으므로 다음 등식이 성립한다.

 

 

 

(예제) 행렬 에 대하여 이므로

 

 

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(연습문제)

 

1. 두 행렬 와 에 대하여 다음을 구하여라.

 

(1)                                                   (2)

 

(3)

 

2. 두 행렬 와 에 대하여 다음을 구하여라.

 

(1)