도도의 초록누리

참고) 정의에 의하여 의 전치행렬은 의 행을 열로 이동시켜 얻을 수 있다. 따라서 의 크기가 이면 의 크기는 이 된다.

(예제) 행렬 의 전치행렬을 구하면 다음과 같다.

(증명) 각 행렬의 성분을 으로 놓고 좌변과 우변에 놓인 행렬의 -성분이 서로 같음을 보임으로써 상등관계를 증명할 수 있다.

(1) 의 -성분은 의 -성분이고 이는 의 -성분이므로 이다.

(2) 의 -성분은 의 -성분이므로 이다. 이는 의 -성분과 의 -성분의 합이 되므로 의 -성분과 같다.

(3) 의 -성분은 의 -성분이므로 이다. 이는 의 -성분과 같으므로 이다.

(예제)

두 행렬

와 실수 에 대하여

이다. 따라서 다음이 성립한다.

(정리)
두 행렬 에 대하여 다음이 성립한다.

(증명) 각 행렬의 성분을 로 놓으면 의 -성분은 의 -성분이므로 이다.

그런데 는 의 -성분이 되므로 정리가 성립한다.

(예제)

두 행렬 와 에 대하여

이므로

이다.

(참고) 대칭행렬 는 주대각 성분들을 연결하는 선분을 기준으로 하여 서로 대칭인 성분들로 이루어져 있다.

(예제1) 행렬 의 전치행렬은 이므로 는 대칭행렬이다.

(예제2) 행렬 의 전치행렬은 이므로 는 대칭행렬이다.

(예제3) 행렬  가 대각행렬이면 이므로 는 대칭행렬이다.

(참고) 정사각행렬 가 교대행렬이라면 교대행렬의 정의로부터 이 된다.

따라서 임을 알 수 있다. 즉, 주 대각성분은 모두 0이다.

(예제1) 행렬 의 전치행렬 이므로 는 교대행렬이다.

(예제2) 행렬 의 전치행렬은 이므로 는 교대행렬이다.

(예제3) 정사각행렬 가 주어지면 다음 과정을 통하여 대칭행렬과 교대행렬을 항상 만들 수 있다. 실제로 행렬 를 다음과 같이 정의 하자.

그러면 다음 관계식이 성립한다.

따라서 가 되어 행렬 는 대칭행렬이 되고 행렬 는 교대행렬이 된다.

이때, 실수 에 대하여 행렬 와 행렬  또한 각각 대칭행렬이 됨을 알 수 있다.

(증명)

행렬 는 대칭행렬이고 행렬 는 교대행렬이다. 또한 행렬 는

으로 나타내어지므로 정사각행렬 는 대칭행렬과 교대행렬의 합으로 항상 나타낼 수 있다.

(예제)

행렬 에 대하여 이므로

이다. 따라서 행렬 는 다음과 같이 대칭행렬과 교대행렬의 합으로 나타낼 수 있다.

(참고) 행렬 의 대각합은 정사각행렬들의 집합 에서 다음과 같이 정의된 함수임을 알 수 있다.

(예제1) 행렬 의 대각합은 다음과 같다.

(예제2) 행렬 의 대각합은 다음과 같다.

(예제3) 정사각행렬 가 교대행렬이라면 이므로 주대각성분이 모두 0이다. 따라서 의 대각합은 다음과 같다.

정사각행렬의 대각합은 다음 정리에서 알 수 있듯이 덧셈과 스칼라 곱셈을 유지시킨다.

(증명) 각 행렬의 성분을 로 놓으면 다음과 같이 증명할 수 있다.

(1)

(2)

(참고) 대각합은 행렬 의 덧셈연산은 유지시키지만 곱셈연산은 유지 시키지는 않는다. 즉,

(예제) 두 행렬 에 대하여 는 다음과 같다.

따라서

(증명) 각 행렬의 성분을 로 놓으면 다음 등식이 성립한다.

따라서 이 증명된다.

(예제) 두 행렬 에 대하여 와 는 다음과 같다.

따라서

(증명) 행렬의 성분을 로 놓으면 의 주 대각성분은 의 주 대각성분과 같으므로 다음 등식이 성립한다.

(예제) 행렬 에 대하여 이므로

(연습문제)

1. 두 행렬 와 에 대하여 다음을 구하여라.

(1)                                                   (2)

(3)

2. 두 행렬 와 에 대하여 다음을 구하여라.

(1)

[수학(Math)] 12. 행렬의 연산에 대한 성질

행렬들의 연산에 대한 기본적인 성질들에 대하여 살펴본다.

행렬들의 덧셈과 스칼라 곱셈, 그리고 상등관계의 정의에 의하여 집합 내에서 다음과 같은 성질이 성립함을 알 수 있다.

(정리1)
세 행렬  와 실수 에 대하여 다음이 성립한다.

 

 

[증명]

행렬의 곱이 정의된다고 가정했을 때 실수에서 결합법칙과 배분법칙이 성립하는 것과 마찬가지로 곱에 대한 결합법칙과 배분법칙이 성립한다는 것을 다음 정리에 의하여 알 수 있다.

(정리2)
행렬 와 에 대하여 다음이 성립한다.

[증명]

행렬의 성분을 각각 로 놓으면 의 -성분은 이므로

의 -성분은 이다.

또한, 행렬 의 -성분은 이고 의 -성분은 이므로 의 -성분은 이다. 따라서 행렬 와 의 -성분이 모두 같기 때문에 등식이 성립한다.

[증명]

행렬의 성분을 각각 로 놓으면 의 -성분은 이므로 의 -성분은 이다.

또한, 행렬 의 -성분은 이고 의 -성분은 이므로 의 -성분은

이다. 따라서 행렬 와 의 -성분이 모두 같기 때문에 등식이 성립한다.

[증명]

각 행렬의 성분을 , , 으로 놓으면 행렬 의 -성분은 이므로

의 -성분은 이다.

또한, 행렬 의 -성분은 이므로 의 -성분은

이다.

그런데

이므로 행렬 와 의 모든 -성분이 같다. 따라서 정리가 증명된다.

실수에서는 곱에 대하여 교환법칙이 성립하지만 행렬은 곱에 대하여 교환법칙이 성립하지 않는다는 사실을 다음 예제를 통하여 알 수 있다.

(예제)

다음 두 행렬의 곱 를 구하여라

[풀이]

행렬 을 각각 다음과 같이 놓자.

그러면

이다. 따라서 는 다음과 같다.

행렬에 대해서 가볍게 소개한다.

예) 행렬 는 다음과 같은 두 개의 행과 두 개의 열로 이루어진 크기가 인 행렬이다.

,

, 

다음은 행렬의 덧셈에 대한 항등원의 역할을 하는 영행렬의 정의에 대해 살펴보자.

[참고] 실수 를

로 정의하면 차의 항등행렬은 으로 나타낼 수 있다.

[참고] 정의에 의하여 정사각행렬 가 상삼각행렬이면 주 대각성분 아래에 놓여있는 성분들은 모두 0이다.

예) 행렬 

는 상삼각행렬이다.

[참고] 정의에 의하여 정사각행렬 가 하삼각행렬이면 주 대각성분 위에 놓여있는 성분들은 모두 0이다.

예) 행렬

는 하삼각행렬이다.

[참고] 정의에 의하여 정사각행렬 가 대각행렬이면 주 대각성분 이외의 성분들이 0이다. 또한 대각행렬은 상삼각행렬이고 동시에 하삼각행렬이다.

예) 행렬

는 대각행렬이다.

두 행렬의 상등관계에 대해서 소개한다.

(정의9)
두 행렬 의 대응되는 모든 성분이 같으면, 즉,

이면 행렬 와 는 같은 행렬이라고 하고 로 나타낸다.

예) 두 행렬

에 대하여 상등관계 가 성립하기 위한 실수 와 의 값은 다음과 같이 구할 수 있다.

집합 에 속하는 행렬들 사이에서 정의되는 연산에 대하여 살펴보자.

(예제)

두 행렬

에 대하여 는 각각 다음과 같다.

[참고]

정의에 의하여 두 개의 행렬 의 곱 는 의 열의 갯수와 의 행의 갯수가 같을 때에만 정의됨을 알 수 있다.

(예제) 두 행렬

에 대하여 는 다음과 같다.

(예제)

두 행렬

에 대하여 의 열의 갯수는 2이고 의 행의 갯수는 1이므로 곱 를 정의할 수 없다.

(예제)

두 행렬 와 에 대하여 다음이 성립함을 보여라.

=> (풀이)

두 행렬

와 에 대하여 이지만 이고 이다.

(연습 문제)

1. 두 행렬 와 에 대하여 다음을 구하여라.

2. 두 행렬 와 에 대하여 다음을 구하여라.

3. 두 행렬

와 에 대하여 다음을 구하여라.

4. 다음 식을 만족하는 실수 를 구하여라.