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[수학(Math)] 13. 행렬의 전치행렬과 대각 합

 

행렬 의 전치행렬의 정의 및 기본적인 성질, 대칭행렬과 교대행렬의 성질을 살펴본다.

또한 정사각행렬에서만 정의되는 개념인 대각합의 정의와 기본적인 성질들에 대하여 살펴본다.

 

정의)

행렬 의 행과 열을 바꾸어 얻은 행렬 의 전치행렬(transpose matrix)이라고 하고 로 표시한다. (이때, 이다.)

 

 

참고) 정의에 의하여 의 전치행렬은 행을 열로 이동시켜 얻을 수 있다. 따라서 의 크기가 이면 의 크기는 이 된다.

 

(예제) 행렬 의 전치행렬을 구하면 다음과 같다.

 

 

 

(정리)

두 행렬 와 실수 에 대하여 다음이 성립한다.

 

(1)

(2)

(3)

 

(증명) 각 행렬의 성분을 으로 놓고 좌변과 우변에 놓인 행렬의 -성분이 서로 같음을 보임으로써 상등관계를 증명할 수 있다.

 

(1) -성분은 -성분이고 이는 -성분이므로 이다.

(2) -성분은 -성분이므로 이다. 이는 -성분과 의 -성분의 합이 되므로 -성분과 같다.

(3) -성분은 -성분이므로 이다. 이는 -성분과 같으므로 이다.

 

(예제)

두 행렬

와 실수 에 대하여

이다. 따라서 다음이 성립한다.

 

 

 

 

(정리)
두 행렬 에 대하여 다음이 성립한다.


(증명) 각 행렬의 성분을 로 놓으면 -성분은 -성분이므로 이다.

그런데 -성분이 되므로 정리가 성립한다.

 

(예제)

두 행렬 에 대하여

이므로

이다.

 

(정의)

정사각행렬 가 다음 조건을 만족하면 를 대칭행렬(symmetric matrix)이라고 한다.

 

(참고) 대칭행렬 는 주대각 성분들을 연결하는 선분을 기준으로 하여 서로 대칭인 성분들로 이루어져 있다.

 

 

(예제1) 행렬 의 전치행렬은 이므로 는 대칭행렬이다.

 

(예제2) 행렬 의 전치행렬은 이므로 는 대칭행렬이다.

 

(예제3) 행렬  더블클릭을 하시면 수식을 수정할 수 있습니다.가 대각행렬이면 이므로 는 대칭행렬이다.

 

 

(정의)

정사각행렬 가 다음 조건을 만족하면 를 교대행렬(Alternating matrix)이라고 한다.

 

(참고) 정사각행렬 가 교대행렬이라면 교대행렬의 정의로부터 이 된다.

따라서 임을 알 수 있다. 즉, 주 대각성분은 모두 0이다.

 

(예제1) 행렬 의 전치행렬 이므로 는 교대행렬이다.

 

(예제2) 행렬 의 전치행렬은 이므로 는 교대행렬이다.

 

(예제3) 정사각행렬 가 주어지면 다음 과정을 통하여 대칭행렬과 교대행렬을 항상 만들 수 있다. 실제로 행렬 를 다음과 같이 정의 하자.

 

 

그러면 다음 관계식이 성립한다.

 

 

따라서 가 되어 행렬 는 대칭행렬이 되고 행렬 는 교대행렬이 된다.

이때, 실수 에 대하여 행렬 와 행렬  또한 각각 대칭행렬이 됨을 알 수 있다.

 

(정리)

정사각행렬 는 대칭행렬과 교대행렬의 합으로 항상 나타낼 수 있다.

 

(증명)

행렬 는 대칭행렬이고 행렬 는 교대행렬이다. 또한 행렬

으로 나타내어지므로 정사각행렬 는 대칭행렬과 교대행렬의 합으로 항상 나타낼 수 있다.

 

(예제)

행렬 에 대하여 이므로

이다. 따라서 행렬 는 다음과 같이 대칭행렬과 교대행렬의 합으로 나타낼 수 있다.

 

 

(정의)

정사각행렬 에 대하여 다음과 같이 정의된 실수 의 대각합(trace)이라고 한다.

 

 

(참고) 행렬 의 대각합은 정사각행렬들의 집합 에서 다음과 같이 정의된 함수임을 알 수 있다.

 

 

(예제1) 행렬 의 대각합은 다음과 같다.

 

 

(예제2) 행렬 의 대각합은 다음과 같다.

 

 

(예제3) 정사각행렬 가 교대행렬이라면 이므로 주대각성분이 모두 0이다. 따라서 의 대각합은 다음과 같다.

 

 

정사각행렬의 대각합은 다음 정리에서 알 수 있듯이 덧셈과 스칼라 곱셈을 유지시킨다.

 

(정리)

정사각행렬 와 실수 에 대하여 다음이 성립한다.

(1)

(2)

 

(증명) 각 행렬의 성분을 로 놓으면 다음과 같이 증명할 수 있다.

 

(1)

 

(2)

 

(참고) 대각합은 행렬 의 덧셈연산은 유지시키지만 곱셈연산은 유지 시키지는 않는다. 즉,

 

(예제) 두 행렬 에 대하여 는 다음과 같다.

 

따라서

 

 

(정리)

정사각행렬 에 대하여 다음이 성립한다.

 

(증명) 각 행렬의 성분을 로 놓으면 다음 등식이 성립한다.

 

따라서 이 증명된다.

 

(예제) 두 행렬 에 대하여 는 다음과 같다.

 

 

따라서

 

 

(정리)

정사각행렬 에 대하여 다음이 성립한다.

 

(증명) 행렬의 성분을 로 놓으면 의 주 대각성분은 의 주 대각성분과 같으므로 다음 등식이 성립한다.

 

 

 

(예제) 행렬 에 대하여 이므로

 

 


(연습문제)

 

1. 두 행렬 에 대하여 다음을 구하여라.

 

(1)                                                   (2)

 

(3)

 

2. 두 행렬 에 대하여 다음을 구하여라.

 

(1)

 

 

 

 

 

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[수학(Math)] 12. 행렬의 연산에 대한 성질

 

행렬들의 연산에 대한 기본적인 성질들에 대하여 살펴본다.

행렬들의 덧셈과 스칼라 곱셈, 그리고 상등관계의 정의에 의하여 집합 내에서 다음과 같은 성질이 성립함을 알 수 있다.

 

(정리1)
세 행렬  와 실수 에 대하여 다음이 성립한다.

 

 


 

[증명]

 

                        

                     

 

                      

 

행렬의 곱이 정의된다고 가정했을 때 실수에서 결합법칙과 배분법칙이 성립하는 것과 마찬가지로 곱에 대한 결합법칙과 배분법칙이 성립한다는 것을 다음 정리에 의하여 알 수 있다.

 

(정리2)
행렬 에 대하여 다음이 성립한다.


 

[증명]

행렬의 성분을 각각 로 놓으면 -성분은 이므로

-성분은 이다.

또한, 행렬 -성분은 이고 -성분은 이므로 -성분은 이다. 따라서 행렬 -성분이 모두 같기 때문에 등식이 성립한다.

 

(정리3)

행렬 에 대하여 다음이 성립한다.

 

 

[증명]

행렬의 성분을 각각 로 놓으면 -성분은 이므로 -성분은 이다.

또한, 행렬 -성분은 이고 -성분은 이므로 -성분은

이다. 따라서 행렬 -성분이 모두 같기 때문에 등식이 성립한다.

 

(정리4)

세 행렬 , , 에 대하여 다음이 성립한다.

 

 

 

[증명]

각 행렬의 성분을 , , 으로 놓으면 행렬 -성분은 이므로

-성분은 이다.

또한, 행렬 -성분은 이므로 -성분은

이다.

그런데

이므로 행렬 의 모든 -성분이 같다. 따라서 정리가 증명된다.

실수에서는 곱에 대하여 교환법칙이 성립하지만 행렬은 곱에 대하여 교환법칙이 성립하지 않는다는 사실을 다음 예제를 통하여 알 수 있다.

 

(예제)

두 행렬 에 대하여 는 각각 다음과 같다.

 

 

따라서 이다.

 

(정리)

행렬 에 대하여 연산 이 정의될 때 다음이 성립한다.

 

 

 

 

(예제)

다음 두 행렬의 곱 를 구하여라

 

 

[풀이]

행렬 을 각각 다음과 같이 놓자.

 

 

 

그러면

 

이다. 따라서 는 다음과 같다.

 

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[수학(Math)] 11. 행렬의 정의 및 연산(Matrix)

 

행렬에 대해서 가볍게 소개한다.

 

참고하면 도움이 되는 주제: 선형대수학(Linear Algebra)
-> 컴퓨터공학: 컴퓨터 그래픽스, OpenGL.
-> 경영학/산업공학: Operation Research(OR)
-> 회로 최적화
-> 물리(벡터)

-> 등.

 

(정의1)

임의의 자연수 에 대하여 개의 실수  를 다음과 같이 직사각형 모양으로 나열해 놓은 것을 실수를 성분으로 갖고 크기가 인 행렬(matrix)이라고 한다.

 

 

 

이때, 각각의 를 행렬 -성분 이라고 한다.

또한 실수를 성분으로 갖는 모든 행렬들의 집합을 로 표시한다.


즉,

 

(정의2)

행렬 개의 수평성분과 개의 수직 성분들로 이루어지는데 특히 번째 수평성분을 행렬

이라고 하고 로 표시한다. 또한 행렬 번째 수직성분을 행렬 번째 열이라고 하고 로 표시한다. 즉, 행렬 번째 행과 번째 열은 각각 다음과 같다.

 

 

예) 행렬 는 다음과 같은 두 개의 행과 두 개의 열로 이루어진 크기가 인 행렬이다.

 

,

 

 

다음은 행렬의 덧셈에 대한 항등원의 역할을 하는 영행렬의 정의에 대해 살펴보자.

 

(정의3)

 

행렬 의 모든 -성분이 0이면 즉, 이면 행렬 를 영행렬(zero matrix)이라고 하고

(또는 )으로 표시한다.

 

(정의4)

행렬 의 행의 수 과 열의 수 이 서로 같으면, 행렬 차의 정사각행렬(square matrix)이라고 한다.

차의 정사각행렬 에서 를 행렬 의 주 대각성분이라고 한다.

 

 

(정의5)

정사각행렬 의 주 대각성분이 모두 1이고 나머지 성분이 모두 0이면 행렬 를 항등행렬(단위행렬, identity matrix)이라고 하고,

으로 표시한다. 즉, 항등행렬 은 다음과 같다.


 

 

[참고] 실수

 

로 정의하면 차의 항등행렬은 으로 나타낼 수 있다.

 

 

(정의6)

정사각행렬 가 다음 조건을 만족하면 상삼각행렬(upper triangular matrix)이라고 한다.

 

 

[참고] 정의에 의하여 정사각행렬 가 상삼각행렬이면 주 대각성분 아래에 놓여있는 성분들은 모두 0이다.

 

예) 행렬 

는 상삼각행렬이다.

 

(정의7)

정사각행렬 가 다음 조건을 만족하면 하삼각행렬(lower triangular matrix)이라고 한다.

 

 

[참고] 정의에 의하여 정사각행렬 가 하삼각행렬이면 주 대각성분 위에 놓여있는 성분들은 모두 0이다.

 

예) 행렬

는 하삼각행렬이다.

 

 

(정의8)

 정사각행렬 가 다음 조건을 만족하면 대각행렬(diagonal matrix)이라고 한다.

 

 

 

그리고 이때 으로 표시한다.

 

 

[참고] 정의에 의하여 정사각행렬 가 대각행렬이면 주 대각성분 이외의 성분들이 0이다. 또한 대각행렬은 상삼각행렬이고 동시에 하삼각행렬이다.

 

예) 행렬

는 대각행렬이다.

 

 

두 행렬의 상등관계에 대해서 소개한다.

 

(정의9)
두 행렬 의 대응되는 모든 성분이 같으면, 즉,

이면 행렬 는 같은 행렬이라고 하고 로 나타낸다.

 

예) 두 행렬

에 대하여 상등관계 가 성립하기 위한 실수 의 값은 다음과 같이 구할 수 있다.

 

 

 

집합 에 속하는 행렬들 사이에서 정의되는 연산에 대하여 살펴보자.

 

(정의10)

두 행렬 에 대하여 덧셈과 실수 에 대한 스칼라곱을 다음과 같이 정의한다.

 

 

(예제)

 

두 행렬

에 대하여 는 각각 다음과 같다.

 

 

 

 

 

(정의11)

두 행렬 의 곱을 다음과 같이 정의한다.

 

 

 

[참고]

정의에 의하여 두 개의 행렬 의 곱 의 열의 갯수와 의 행의 갯수가 같을 때에만 정의됨을 알 수 있다.

 

 

(예제) 두 행렬

에 대하여 는 다음과 같다.

 

 

 

(예제)

 

두 행렬

에 대하여 의 열의 갯수는 2이고 의 행의 갯수는 1이므로 곱 를 정의할 수 없다.

 

(예제)

 

두 행렬 에 대하여 다음이 성립함을 보여라.

 

 

=> (풀이)

 

두 행렬

에 대하여 이지만 이고 이다.

 

 


(연습 문제)

 

1. 두 행렬 에 대하여 다음을 구하여라.

 

                                              

 

 

 

 

 

 

2. 두 행렬 에 대하여 다음을 구하여라.

 

 

                                           

 

 

 

 

3. 두 행렬

에 대하여 다음을 구하여라.

 

                              

 

 

 

 

4. 다음 식을 만족하는 실수 를 구하여라.

 

 

 

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[Matlab 2010] 7. 행렬의 연산 -4-

Magic(N)

임의의 행렬 생성함수입니다.
행렬을 공부할 때 많은 도움이 될 것으로 생각합니다.

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[Matlab 2010] 5. 행렬의 연산 -3-

행렬의 합 구하기



1. sum 기능 사용하기

행렬 출력 : A = [16 3 2 13; 5 10 11 8; 9 6 7 12; 4 15 14 1]
합계 : sum(A)





2. Diag 명령 사용하기


 (1,1)      
  (2,2)     
    (3,3)   
      (4,4) 

출력 : diag(A)

참조 : 행렬 값은 1번 sum 기능



3. Subscript

A(1,4) + A(2,4) + (3,4) + (4+4)



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[Matlab 2010] 4. 행렬의 연산 -2-

행렬 성분의 연산


1. 벡터의 내적


2. 벡터의 외적


3. 행렬의 연산


4. 행렬 표기법

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[Matlab 2010] 3. 행렬의 연산 -1-



지난 시간에 작은 행렬 단위에 관하여 입력하는 방법을 배웠습니다.
이번 시간에는 사람 손으로 기재하기 어려운 다차원 행렬에 대한 입력방법을 살펴보겠습니다.

A = Ones(m,n)
모든 M,N 행렬의 데이터 값을 '1'으로 선언

Zeros(m,n)
모든 M,N 행렬의 데이터값을 '0'으로 선언

Eyes(m,n)
단위 행렬 선언

참고
Ones(m,n);으로 입력하면
A라는 변수 내부에만 저장되고 출력되지 않습니다.

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[Matlab 2010] 2. 행렬 구현



위의 그림은 Matrix '2 by 3' 즉 행렬 2 x 3을 뜻합니다.

F(X) >> a = [1 2 3;3 4 5]

출력 결과

a =

     1     2     3
     3     4     5

참고

1 2 3을 1,2,3으로도 표현 가능합니다.

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