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[Mechanics(역학)] Von Mises Stress (폰 미세스 응력)

CFD, FEM 프로그램에서 사용되는 폰 미세스 응력에 대해서 소개한다.

1. Von Mises (폰 미세스)

폰 미세스 응력은 폰 미세스라는 과학자가 만든 식이다.

그림 1-1) 리차드 폰 미세스(사망: 1953년 7월 14일)

리차드 본 미세스는 1953년에 사망 하였다.

본 미세스의 식을 소개하겠다.

2. 폰 미세스 응력 소개

ref: http://en.wikipedia.org/wiki/File:Yield_surfaces.svg

von Mises 스트레스는 복잡한 응력 상태를 금속의 항복 강도와 비교되는 단일 스칼라 수로 끓여서 수행한다.

또한 단일 축력 테스트로 결정된 단일 스칼라 수치 (가장 쉬운 방법이기 때문에).

그것은 내재적 오차와 편차가 있는 경험적 과정이다.

사실, 금속은 폰 미세스 (Monises) 수율 기준에 따라 산출되어야한다는 단호하고 빠른 규칙이 없다.

그럼에도 불구하고, 그것은 매우 잘 작동하고 처음으로 제안 된 후 한 세기 만에 선택의 방법으로 남아 있다.

1-2. 역사(History)

von Mises 스트레스에 대한 정의 방정식은 1904년 Huber에 의해 처음 제안되었지만, 폰 미세스가 1913 년에 다시 제안 할 때까지 거의 관심을 받지 못했다.

그러나 Huber와 von Mises의 정의는 수학 1924년 Hencky가 실제적으로 편차가있는 변형 에너지와 관련이 있다는 것을 인식 할 때까지 물리적인 해석이

없는 등식이었다.

1931년에 Taylor와 Quinney는 구리, 알루미늄 및 연강에 대한 시험 결과를 발표했는데, von Mises 응력은 최대 전단 응력 기준보다 금속 항복점의 시작을

더 정확하게 예측할 수 있음을 보여 주었다. 1864 년에 Tresca 그리고 지금까지 항복하는 금속의 가장 좋은 예언자였다.

오늘날, 폰 미세스 스트레스는 후버의 발전에 대한 공헌으로 후버 - 미세스 스트레스라고도 한다.
Mises 효과적인 스트레스와 단순히 효과적인 스트레스라고도 한다.

1-3. 기술적인 배경(Technical Background)

von Mises 응력에 대한 완전한 이해를 위해서는 응력과 변형 tensors, Hooke의 법칙 및 변형 에너지 밀도의 수압 및 편향 요소에 대한 이해가 필요하다.

정수 및 편차 응력과 변형률은 이미 검토되었습니다. 그리고 Hooke의 법칙은 이미 여기와 여기에서 다루어졌지만이 페이지에서도 자세히 논의 할 필요가 있다.

변형 에너지 밀도도 여기서 소개 할 것이다.

1-4. Von Mises Stress (폰 미세스 스트레스)

훅크의 법칙을 불러오면(훅스 로를 적용하면)

1번 식에 대입하면,

그래서 변형률 에너지 밀도의 일탈 부분은 편차 스트레스의 이중 내적과 직접 관련이 있다.

키네틱 에너지와의 유사성을 주목해라.

(식이 많아서 까먹거나 못 외우겠다면, 일반 물리책이나 참고 할 수 있는 유사한 책을 참고해라. )

스프링(Spring's)의 내부 에너지,  , 전력(Electrical Power), 그리고 다른 어떤 형태도 생각 할 수 있다.

마침내 약 20 % 낮지만 von Mises 스트레스에 비례하는 것으로 판명되는 등가 또는 유효 스트레스를 도입할 때이다.

= It is finally time to introduce an equivalent or effective stress that will turn out to be proportional to the von Mises stress, though about 20% low.

이 스트레스 값을 나타 내기 위해 대표적인 스트레스에 기호를 사용하십시오. 그리고 그것은 스칼라 스트레스 값이지 텐서가 아니다!

The defining equation for is

방정식의 형식은 위의 스칼라와 등가가되도록 의도적으로 선택된다. 그것들을 서로 같게 설정하면 (왜냐하면 둘 다 W '와 같기 때문이다.)

분명히 는 실제 3-D 응력 텐서와 동일한 편향 변형 에너지를주는 스칼라 응력 값을 의미한다. 양쪽에서 4G를 취소하면

마지막 단계는 단순한 편리 성 중 하나이다. 단축 운동의 가장 간단한 직선 운동의 사례가 동기이다.

그것을 보려면, 이 경우 를 계산해라. 일축 장력에 대한 응력 상태는

수압 응력(hydrostatic stress / 찾아보기)은 이며, 편차 응력 텐서(Deviatoric stress tensor)는

그래서 는 과 같습니다. 따라서

그리고 거기에는 좌절감이 있다.

단축 인장에 대한 대표 응력은 단축 인장 응력 σ와 같지 않고 그 대신에 약 82%이다.

이것은 대단히 불편하지만 해결 방법은 간단하다. 축 응력이 단축 인장 응력과 같아 질 때까지 대표 응력의 크기를 간단히 조정하라.

이것은 단순히 에 를 곱하면 된다.
이것은 에 비례하는 어떤 것도 여전히 편차 에너지에 대한 관계를 반영하기 때문에 받아 들일 수있다. 그것은 단지 약간 확장 될 것이다.

최종 결과는 von Mises 스트레스이다.

그리고 이것은 이것에 대한 정의 방정식이다.

[Alternate Forms / 대체식]

위의 방정식의 대수 조작은 다른 많은 동등한 형식을 제공한다. 여기에 요약되어 있다.

= Algebraic manipulation of the above equation gives many other equivalent forms. They are summarized here.

2. 참고자료(Reference)

1. Von Mises Stress, http://www.continuummechanics.org/vonmisesstress.html, Accessed by 2018-07-18